domingo, 15 de noviembre de 2009

El Análisis Matemático

El Análisis es una de las tres grandes ramas de la matemática. Es hija directa del Cálculo, la gran invención que encontró una forma manejable en el siglo XVII, gracias al esfuerzo de Newton y Leibnitz. Constituyó una herramienta indispensable para la física moderna.

La filosofía subyacente al Cálculo se puede entender del modo que sigue:

Deseamos estudiar cómo se desarrolla un proceso complicado que aparece en la naturaleza, en una máquina, en una estructura económica o social, o tal vez en un mundo matemático ideal. Analizamos primero lo que ocurre "localmente", es decir en una porción reducida, para un cambio pequeño de tal o cual variable del fenómeno. Al proceder asi, tal vez podamos aplicar algún principio característico del proceso. Tal formulación aparece a menudo en forma de una ecuación diferencial. Su resolución permite conocer como se comporta el fenómeno, no ya "localmente" sino "globalmente".

El campo actual de las ecuaciones diferenciales es amplísimo y de los más activos en el presente, sobretodo estimulado por el interés actual en los problemas no lineales que abren todo un mundo nuevo a la investigación.

La teoría de funciones de variable compleja constituye otro de los campos importantes del análisis actual. Se centra en el estudio de funciones analíticas, de las funciones como la exponencial, el seno, el coseno, son representables mediante una serie de potencias. Su aplicabilidad en campos tan diversos como la teoría de los números, dinámica de fluidos, ingeniería eléctrica, física de alta energía, constituye una inagotable fuente de asombro.

El análisis armónico comenzó con el estudio matemático de la cuerda vibrante. Bernoulli, en el siglo XVIII, lo abordó tratando de representar el movimiento como una superposición de movimientos armónicos fundamentales. Es decir, de movimientos representables por funciones trigonométricas, sen(kx), cos(kx). Fourier, en el siglo XIX estudió la ecuación diferencial que rige la conducción del calor mediante el mismo método. Este modo de representación de funciones, así como los métodos que su desarrollo ha mostrado, constituye una de las herramientas más poderosas en la práctica, y en la teoría para el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Miguel de Guzmán Ozámiz, al ingresar a la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales en el año 1983, su discurso fue titulado: " Impacto del Análisis Armónico. El sueño Pitagórico: todo es armonía y número". Saber más...

El análisis funcional es otra de las áreas del Análisis Matemático. Considera a las funciones como elementos, como puntos de un espacio, introduce guiándose en las correspondientes ideas del espacio tridimensional, las nociones de distancia entre dos funciones, ángulo, espacio lineal...

El estudio de la estructura así creada resulta extraordinariamente fecunda para la resolución de muchos problemas complejos de ecuaciones diferenciales, mecánica cuántica, etc.

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