sábado, 20 de noviembre de 2010

¿Qué conoces acerca de Pitágoras? (II)

Entrando en la mente de Pitágoras

Pensó en un pentágono regular, en el que ha trazado sus diagonales:

  1. ¿Cuántas diagonales tiene? R: 5 diagonales
  2. ¿Cuántos triángulos verdes están incluidos en el pentágono? R: 5 triángulos
  3. ¿Qué forma tiene el trazo azul grueso? R: una estrella de 5 puntas
  4. ¿Qué figura es la marcada con azul claro? R: un pentágono
  5. ¿Cuántos triángulos quedan determinados en la figura? R: 10 triángulos
  6. ¿Qué representa el número 10? R: La Tetraktis
  7. ¿Puedo seguir haciendo el mismo proceso en el pentágono más chico? R: Si
  8. ¿Qué obtendría?: R: La Tetraktis
  9. ¿Cuántas veces puedo realizar ese procedimiento? R: infinitas veces
Se ha representado una manera de cómo Pitágoras percibió la imagen del Pentágono en su mente, luego creó otra imagen mental.

¿Qué más Pensó? 10 = 1 + 3 + 6, y resulta que 10 es ahora "suma de tres números triangulares". Y, 10 es un número triangular.

¿La suma de números triangulares es siempre otro número triangular? R: SI
¿Cómo puedo representar el 10 como suma de otros números?
10 = 5 + 5 = 2.5
¿Qué significa el 2? La dualidad
¿Qué representa el número 5? El matrimonio, el pentágono
5 = 4 + 1. O sea 5 es la suma de dos números cuadrados. Sigue pensando en su representación mental, reproduciendo detalles.
  • 1 es cuadrado, triangular y pentagonal
  • 3 es triangular
  • 4 es cuadrado
  • 5 es pentagonal
¿Será que así pensó cuando sostuvo que la estrella de 5 puntas era el "símbolo pitagórico"?. Creo que si, ese proceso es recursivo e infinito.
Aparece el concepto de "infinito", en su representación mental.
¿Qué pasa con el Teorema?. Pitágoras piensa en un triángulo, de lados a, b e hipotenusa c.

Sabe que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

(el famoso teorema), ya es una representación mental que está automatizada.

Para desplazarse desde A hasta B, se da cuenta que la menor distancia es la AB. Esto lo observó dibujando en la arena, y sumando las áreas de los cuadrados asentados en los lados del triángulo. Esta forma de representación mental, es una de las "Demostraciones del Teorema de Pitágoras" (Existen más de 250 demostraciones). Ese proceso mental le sirvió para acortar sus tiempos de ir de un lado a otro, caminar menos (aunque a él le encantaba caminar por la arena, muchas veces descalzo)
Pitágoras consideraba el número 4 especialmente importante. Así, el alma está relacionada al fuego, y el fuego es un tetrahedro, y un tetrahedro tiene cuatro vértices y cuatro caras, y es el más pequeño de los poliedros regulares.

Un tetraedro tiene dos propiedades especiales: es el más pequeño de los poliedros y tiene el mismo número de vértices y caras. Ambas propiedades resultan del hecho que su número de vértices es uno más que la dimensionalidad del espacio. Podemos admitir, entonces, que el número 4 es importante a Pitágoras por la misma simple razón que 4 es importante a Einstein, 4 = 3 + 1. Para Eintein, la cuarta dimensión, 3 (componentes del espacio: x, y, z) y 1 (componente del tiempo t).

Para finalizar no podemos dejar de decir que sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda al menos que existió su famoso teorema.

El estudio de Pitágoras debería centrarse no sólo a los descubrimientos matemáticos, sino de su pensamiento, su forma de vida, sus costumbres, su filosofía de vida. Existen en la actualidad Pitagóricos no sólo en su filosofía de vida, sino también en su estructura de pensamiento.

Mucho por decir de este personaje histórico, lleno de misterios ocultos, laberintos en todos los sentidos. Para ello, es necesario conocer mucho sobre Aritmética, Geometría, Música, Astronomía, Filosofía y rendir todas las pruebas pertinentes para el estilo de vida de un meditador como él y comulgar con su filosofía mística.

Es una pena que ningún programa de televisión pueda realizar una entrevista a Pitágoras de Samos. Seguramente, conseguiría un aplauso al público asistente.

Tal vez recorriendo el mundo pitagórico, aprenderemos aquello que nos servirá para la convivencia social.

Para conocer un poco más de estos hechos, puede hacer clic aquí
En los siguientes slides, puede encontrar un resumen de lo escrito.
Estudio de la ejecución experta. Análisis de un caso. Pitagoras de Samos. La casa de Pitagoras: Los laberintos de sus misterios

miércoles, 17 de noviembre de 2010

¿Qué conoces acerca de Pitágoras? (I)

Pitágoras de Samos (V a.C), un Griego universal, elevado al estatus de los dioses, revolucionó la sociedad de su tiempo. Incomprendido, iniciado en las artes mágicas, geómetra de enorme talento, protagonista de innumerables leyendas y eterno aspirante a la perfección. Su prodigiosa genialidad ha dejado huella imborrable en la historia del pensamiento y de la ciencia.

Fue un investigador matemático, filósofo, líder de la Cofradía Pitagórica, esposo de Teano, padre de dos hijos y una hija. Maestro de: Aritmética, Geometría, Música, Astronomía, Filosofía, Metafísica. Asimismo de valores humanos como: la ética, la moral y la justicia. Meditador, Poeta (Versos de Oro).

En el aspecto científico, cuatro temas fueron estudiados: aritmética (la teoría de los números), geometría, música y esferas (astronomía matemática).
Preguntó: ¿Cuál es la situación de las entidades matemáticas, tales como números, en el reino de las cosas?

Pitágoras fue un filósofo que se dedicó a dos ramas fundamentales:

  • Filosofía Mística: Desarrolló una filosofía que tiene que ver con inmortalidad y la trasmigración de las almas.
  • Filosofía Matemática: "Todo es número", del cual devienen diversas connotaciones.

Indudablemente Pitágoras tenía clara conciencia de lo que quería. La creación de la Secta Pitagórica con una determinada filosofía, y por ende todos los descubrimientos matemáticos que allí acontecieron.

Veremos los aspectos más relevantes de su pensamiento.

Filosofía Mística

  1. Trasmigración de las almas: Creía que el poder del alma perduraba luego de la muerte. De hecho, la vida terrenal era mínima, y lo importante estaba en el alma que estaba prisionera del cuerpo.
  2. Parentesco de todos los seres vivos: El alma decide la clase de cuerpo a introducirse. Puede ser en una animal, un vegetal (algunas plantas) o en un Dios.
  3. Reglas de abstinencia y prohibiciones: Al puro se lo reencarna en lo puro, al impuro en lo impuro. Por ello era tarea del hombre buscar la pureza. De la búsqueda de la pureza el pitagorismo condujo al nacimiento de la medicina y la música como ciencias. El era un meditador, y en consecuencia "practicaba el silencio" (El y los Pitagóricos). Siendo meditador, era vegetariano, por ende no comía carne (El ni sus discípulos) pero por asociación con la metempsicosis. Sacrificios sangrientos a la divinidad estaban prohibidos.
  4. Su idea de Dios: Enseñaba la existencia de un único Dios que une al mundo por la justicia. Asocia el cuerpo con la esfera y lo manifiesta en el movimiento circular de los astros.

Sin duda Pitágoras al crear la Hermandad Pitagórica lo hizo con principios muy sólidos, no se conformaba con cosas superficiales.

Era sumamente observador. Esto se puso de manifiesto cuando lograba percibir los sentimientos, pensamientos, motivaciones y estilos de vida.

Había una regla de secreto en la comunidad, y se castigaba severamente a los que divulgaban la doctrina.

Pitágoras tenía en cierto grado flexibilidad y adaptabilidad. Muestras de ello son los retrocesos en la búsqueda de la perfección. Necesitaba la comunicación con sus discípulos para poder alcanzar metas superiores. Así lo hizo, no solamente en el terreno de la Ciencia, (tipo de feedback informativo, especialmente en sus enseñanzas filosóficas como matemáticas), sino en enseñanzas esotéricas tales como los Versos de Oro, en donde se transmite sus enseñanzas para la vida misma.

El modelo social de la Cofradía es que debían ser: austeros, sinceros, fieles, con fuertes convicciones religiosas y científicas.

Sus discípulos a su vez trasmitían las enseñanzas a los de "menor jerarquía". Era una Sociedad, una Escuela en la que había que cumplir ciertas reglas y pasar por pruebas para poder superarse y evolucionar.

Algunos lo llaman "Comunidad", otros "Secta", otros "Escuela", otros "Cofradía". Pitágoras organizó la Escuela Pitagórica, seleccionando discípulos "de mayor jerarquía" que eran los que enseñaban a los otros. Estaban divididos en categorías dentro de los saberes: acusmáticos y matemáticos. El esquema de organización dentro de la Cofradía era "piramidal".

Esto es un hecho notable dentro de la Sociedad, porque se enseñaba el respeto, la jerarquía y los valores morales.

Filosofía Matemática

Los pitagóricos fueron hacia el siglo V a. C los principales investigadores científicos.

La importancia del número, fue la base de su doctrina matemática. Asignaba números a las cosas, por ejemplo: la justicia el 4; la salud el 7; el matrimonio el 5.

Los cuatro poliedros regulares se asociaban a los cuatro elementos. El tetraedro era el fuego, el cubo la tierra, el octaedro el aire y el icosaedro el agua. Esto marca el pensamiento constante y hasta "delirante" en asociar las ideas.

Los objetos son: "los poliedros regulares", su función en el ambiente son: "fuego, tierra, aire, agua"

En la tabla puede observarse, conceptos y cantidad, causa y efecto:

La suma de los números impares (concepto de cantidad y causa) genera cuadrados, figuras semejantes a sí mismas (efecto), la suma de números pares (cantidad y causa) genera rectángulos, figuras de lados iguales (efecto).

El 1 (la unidad) es el principio de los números, es la perfección.
Resulta ver fácilmente de la tabla que 1 es "Natural", "Impar", "Triangular", "Cuadrado", "Pentagonal", "Tetraedreal", "Pentaedreal", "Exaedreal". Otro ejemplo de concepto de cantidad (por el número de caras de los poliedros) con causa – efecto.

La matemática Pitagórica es cuadripartita: aritmética y música; astronomía y geometría. Se logra hacer inteligible la música mediante la aritmética; y establecer un puente entre geometría y música; intenta extender la música hasta la astronomía; el resultado es la armonía de las esferas.

Es probable que, sería mérito inapreciable de Pitágoras, y, de los pitagóricos, el haber convertido el conjunto de los conocimientos matemáticos en una estructura racional deductiva, introduciendo el novedoso recurso de la demostración, que caracteriza a la matemática como ciencia y con ella la toma de conciencia plena de su esencia cognoscitiva, inexistente hasta entonces.

Los nombres número triangular, cuadrado, pentagonal, etc., llamados "Números Poligonales" derivan del estudio Pitagórico de la relación entre el número y la forma. Los números triangulares 1, 3, 6,10, etc. son la suma de números consecutivos.

El hecho de que colocara el número 10 como la suma de los cuatro números naturales, es intuitivo y luego toma la forma altamente deductiva.
Por ejemplo: 10 = 1 + 2 + 3 + 4

El símbolo abstracto es el número 10, representa "un triángulo", y el concepto es: "10 es la suma de los cuatro primeros números"

En este caso, la disposición de los cuatro primeros dígitos en forma de pila dibuja un triángulo equilátero, y esto hizo que el número 10 sea "privilegiado", en la estructura del Universo.

Los números cuadrados 1, 4, 9, 16, etc., son la suma de números impares sucesivos.

Cada número cuadrado puede derivarse de su precedente añadiendo un borde en forma de L. A este margen se le atribuía gran importancia y se le denominó gnomon (escuadra de carpintero).

Luego se advirtió que cada número impar 3, 5,7, etc., era un gnomon de un número cuadrado.

El símbolo 16, representa "un cuadrado" y el concepto es "la suma de los cuatro primeros números impares" ó "la suma de uno más los tres primeros gnomones".

Uno de los descubrimientos más importantes (por el efecto que produjo en la Sociedad)es la demostración de la irracionalidad de raiz cuadrada de dos. Supone que es un número racional, medible, lo cual lo lleva a una falsedad (un método de demostración).

Luego infiere que:
y logra un resultado más general de la existencia de números "irracionales". Un número "irracional" es un número "no medible". Acontece la "Crisis del Pitagorismo".

jueves, 4 de noviembre de 2010

Cuento: La herencia del abuelo

Este es un cuento para trabajar en grupo. El mismo puede parecer, en un primer momento, que no esté relacionado con las sucesiones y los patrones numéricos. Requiere la interpretación y atenta lectura de la situación planteada, para luego plantear preguntas que se responden observando regularidades, generalizando y usando un lenguaje algebraico.



Luego de haber compartido la lectura del cuento: “La Herencia del Abuelo”, responder:
  • Joaquín representa el 1º eslabón de la Cadena Solidaria Paga a otros dos. Las dos primeras personas que reciben ayuda de Joaquín representan el 2º eslabón de la cadena. ¿Cuántas personas representarían el 4º eslabón de la cadena?
  • ¿Cuántas personas resultarían ayudadas en el 7º eslabón de la cadena solidaria?
  • Con tu grupo expresa una fórmula que te permita determinar la cantidad de persona que representan el eslabón n de la cadena.

martes, 2 de noviembre de 2010

Actividades interactivas con ZonaClic

En el grupo de investigación estamos buscando alternativas a HotPotatoes(tm) que nos permitan mayor flexibilidad y facilidad de uso. También nos interesa la posibilidad de monitorear la realización de las actividades.
En esta búsqueda encontramos a zonaClic, un proyecto que desarrolla una aplicación que nos permite crear y subir contenido interactivo para auto-evaluación.
Para la realización de las actividades, se aconseja tener un lápiz y papel a mano. Recuerda siempre que la matemática se aprende "haciendo matemática", y estos elementos son nuestros mejores aliados.







¿Te gustó?, ¿Te sirvió para ejercitarte más?

domingo, 17 de octubre de 2010

sábado, 16 de octubre de 2010

jueves, 14 de octubre de 2010

sábado, 4 de septiembre de 2010

Calculadoras


Hemos descubierto una herramienta que esta disponible en la Web para todos. A partir de ella, se ha creado unas aplicaciones que se la presentamos.







¿La conocían?. Haz pruebas y realiza tu comentario.

miércoles, 17 de marzo de 2010

Cómo subir archivos en Google

En la siguiente presentación, se brinda el paso a paso para poder subir archivos en Google. Servirá para añadir audio y multimedia a tu Blog.








































Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

martes, 9 de marzo de 2010

Integrales Definidas. ¿Que son?. ¿Para qué sirven?

Te presentamos una WebQuest con el fin de guiarte en este proceso de construcción de conocimientos.

En este caso, se trata de alguna de las aplicaciones más importantes de la Integral Definida.

Para entrar a la WebQuest, debes hacer clic en el siguiente link: Integrales Definidas
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